Analyse und Resynthese des Gitarrenklangs

Dirk Jagdmann <doj@cubic.org>

Worum geht es?

Dem Mensch fällt es leicht unterschiedlicher Instrumente zu erkennen.
Auch unterschiedliche Modelle desselben Instrumentes kann man oft unterscheiden.
Der Klang eines Instruments besitzt etwas für diesen Instrumententyp charakteristisches.
Was dies genau ist, ist jedoch unbekannt.

Vorgehensweise: Analyse & Resynthese

Klang von Gitarren soll charakterisiert werden.
Ein mathematischer Algorithmus produziert als Ergebnis eine Menge von Zahlen.
Die Interpretation dieser Zahlen sollte charakteristische Eigenschaften des Instrumentes enthüllen.
Analyse: Berechnung der Zahlen und interpretation.
Resynthese: Kontrolle ob Analyseergebnis sinnvoll.

Wie entsteht der Ton auf der Gitarre?

Saite wird durch Anschlag zum Schwingen gebracht.
1. transversal
2. longitual
3. torsional
Über Steg wird Decke und Korpus angeregt.
Luft innerhalb des Korpus.

Welche Aufnahme ist zu gebrauchen?

Einzelton

Aufnahme besteht aus Attack+Sustain

Schneller Anstieg nach Anschlag auf Lautstärkemaximum
Danach langsamer Lautstärkeabfall
Attackphase & Sustainphase

Sonogramm

Klang besteht aus Sinusoiden

Jede Periodische Schwingung läß sich als Summe anderer periodischer Schwingungen darstellen.
Am einfachsten zu handhaben sind Sinusoiden.
Minimal benötigte Sinusoiden: Grundton + Obertöne.
f(x)=a1*cos(f1) + a2*cos(f2) + a3*cos(f3) + ...

Grundfrequenzbestimmung

Grundfrequenz über gesamten Ton bestimmen.
Beste Präzision: Autokorrelation.
Dadurch auch (idealen) Obertöne bekannt.

Untersuchung Sustainphase mittels DFT

Aufnahme wird Frameweise untersucht. Größe typischweise 2048 oder 4096 Samples.
Ergebnis der DFT sind 1024 oder 2048 Werte für Frequenz, Amplitude, Phase.
In der Nähe der bekannten Obertöne werden maximale Amplituden bestimmt.
Die unteren 15 Obertöne werden in drei Matrizen eingetragen.

Phasenmatrix, Frequenzmatrix

Phase einer Schwingung kann vom Mensch nicht wahrgenommen werden.
Phasenmatrix kann ignoriert werden.
Frequenzmatrix enthält aufgrund Auflösung der DFT nur gemittelte Werte.
Verwendung der idealen Obertöne ist genauer.
Frequenzmatrix kann ebenfalls ignoriert werden.
Beispiel

Weitere Reduktion mittels DCT

Werte der Amplitudenmatrix nicht unkorreliert.
Dadurch Möglichkeit Anzahl der Werte weiter zu reduzieren.
Reduktion mittels DCT, wodurch nur oberen 2, 3 Zeilen relevante Werte enthalten.

Beispiel DCT

Amplitudenmatrix
53.8443	65.9115	32.1688	21.5412	20.4876	10.8822
52.9287	59.6621	28.6668	18.7019	18.5585	8.6261
50.1032	53.6063	22.0757	15.3144	15.6269	6.8131
47.4572	48.4006	15.2476	12.0662	12.8844	5.0415
44.9455	43.6292	9.4212	9.9607	10.5373	3.6589
42.4908	39.2642	4.9268	9.5516	8.6129	2.6495
40.2277	35.3355	2.0882	10.2387	7.0780	2.0522
38.1067	31.7398	1.2276	10.8561	5.7447	1.6478
36.1289	28.4074	1.8988	11.3722	4.6692	1.2312
34.2217	25.4917	3.0032	11.7808	3.8545	1.0437

⇔

DCT
1.6816	2.0620	1.4125	0.8334	0.5212	0.4144
0.6421	0.7493	0.4368	0.1729	0.0618	0.0577
0.2307	0.2545	0.1052	-0.0347	-0.1045	-0.1062
0.1318	0.1469	0.0663	-0.0122	-0.0556	-0.0536
0.0363	0.0376	0.0134	-0.0084	-0.0174	-0.0106
0.0293	0.0309	0.0133	-0.0003	-0.0044	-0.0010
0.0076	0.0071	0.0026	0.0001	-0.0002	-0.0004
0.0094	0.0104	0.0050	0.0012	0.0018	0.0017
0.0019	0.0017	-0.0004	-0.0027	-0.0005	0.0016
0.0035	0.0041	0.0016	-0.0013	-0.0007	0.0003

Nachteile DCT

DCT ist zur Datenreduktion geeignet.
Interpretation schwierig/unmöglich, denn math. Raum nicht intuitiv.
Minimal 2 Werte pro Oberton.
Mit 2 Werten kann aber auch Exponentialfunktion beschrieben werden.
Direkt aus Amplitudenmatrix durch Regression Exponentialfunktion bestimmen.

Regression Beispiel

Was ist noch zu tun?

Obertöne durch Exponentialfunktion darstellen.
Untersuchen wie sich Obertöne zwischen unterschiedlichen Modellen unterscheiden.
Detaillierte Untersuchung der Attackphase, mittels noch zu entwickelter Methode.

EOF